暑假这些天教小孩数学，频频梦到中学同学，今早梦到ap 同学，我们坐在同一辆公交车尾部，感慨好久不见了，问最近在做什么，答忘记，我说我也在某公司做过2年，场景转到老家水库路边，水像绿色大波纹静止画，我说梦里经常在这里踩着水玩，拉了一下ap 同学的手，注意到同学带了一个小朋友，醒来未及时回忆细节忘很多，尝试清醒入梦，再感受

清明梦贴吧回复于2022/8/19

为什么微积分需要引入实数理论

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书摘与小说回复于2022/6/21

为什么微积分需要引入实数理论

参考资料 1. 程民德，何思谦等．《数学辞海（第一卷）》：山西教育出版社中国科学技术出版社东南大学出版社，2002 2. 卓里奇．《数学分析（第一卷）》(第4版) ：高等教育出版社，2006 3. Landau,E.G.H.．Foundations of Analysis：Akademische Verlag

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为什么微积分需要引入实数理论

惟一性首先要明白这里惟一性的确切含义，这里指的是在同构意义上的惟一性，具体来说，就是证明凡是满足实数公理的实数系模型都是同构的。按照戴德金方法建立实数系后对其在同构意义下的惟一性的讨论可以参看斯皮瓦克的《微积分》 [9] 最后一章“实数的惟一性”。按照康托尔的柯西列方法建立实数系时的惟一性的讨论可以参看许绍溥、

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为什么微积分需要引入实数理论

存在性实数系的存在性是通过构造法引入的，以下是构造实数系的三种方法（主要是从有理数定义出无理数）。 1.戴德金分割方法戴德金分割的方法在有关数学分析的著作中多有介绍。最经典的叙述是兰道特地为此编写的小书《分析基础》 [3] ，这本书的副标题就是“整数、有理数、实数、复数的运算”，该书从自然数出发，一直定义到

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为什么微积分需要引入实数理论

文献综述: 公理化方法所谓公理化方法，起源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。在该书中对于几何学提出了为数绝少的几条公理，然后用逻辑推理的方法得到所有其它定理，从而将整个几何学建成为一个明白易懂又非常严格的逻辑体系。只要公理不错，则所有得到的定理的真理性也就没有问题。这里的所谓公理，听起来似乎抽象，实际上就是大

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为什么微积分需要引入实数理论

由于实数理论的内容过于庞大，处理方式也各有不同，因此，它的有关理论也散见于各种文献中，以下是对定义实数系方法的文献综述。

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为什么微积分需要引入实数理论

实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。

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为什么微积分需要引入实数理论

努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月

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为什么微积分需要引入实数理论

1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及魏尔斯特拉斯的“有

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为什么微积分需要引入实数理论

变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。

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为什么微积分需要引入实数理论

无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在

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为什么微积分需要引入实数理论

17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。

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为什么微积分需要引入实数理论

中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对

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为什么微积分需要引入实数理论

无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可

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